Question

16．已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD=AO；
（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD=BE；
（2）如图2，点F在边BC上，BF=BO，若OD=2$\sqrt{2}$，OF=3，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接AE交OD于点F，由AB为直径，利用直角所对的圆周角为直角得到AE与BE垂直，再由BE与OD平行，得到AE垂直于OD，再由AD=AO，利用三线合一得到AE为角平分线，且F为OD中点，利用中位线定理得到BE=2OF，等量代换即可得证；
（2）分别作弦BE∥OD，AH∥OF，连接AE，BH，AE与BH交于点P，由（1）得到E与H分别为弧BC与弧AC的中点，进而确定出∠HAE=∠HBE=45°，根据AB为直径，得到所对的圆周角为直角，确定出三角形APH与三角形BEP都为等腰直角三角形，由AP+PE求出AE的长，在直角三角形AEB中，利用勾股定理求出AB的长，即为圆的直径．

解答 （1）证明：连接AE交OD于点F，
∵AB为直径，
∴AE⊥BE，
∵BE∥OD，
∴AE⊥OD，
∵AD=AO，
∴AE平分∠CAB，
∴OD=2OF，
∵BE=2OF，
∴BE=OD；
（2）分别作弦BE∥OD，AH∥OF，连接AE，BH，AE与BH交于点P，
由（1）得：E为$\widehat{BC}$的中点，同理H为$\widehat{AC}$的中点，
∴∠HAE=∠HBE=45°，
∵AB为直径，
∴∠H=∠E=90°，
∴AP=$\sqrt{2}$AH，PE=BE，
∵点O为AB的中点，BE∥OD，
∴EB=OD=2$\sqrt{2}$，
∴PE=BE=2$\sqrt{2}$，
同理AH=OF=3，
∴AP=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，AE=5$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{2}$，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{58}$，
则圆的直径为$\sqrt{58}$．

点评 此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三线合一性质，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．