题目内容
5．
（1）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由．（2）若一个三角形经过它的某一定点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称该三角形为等腰三角形的生成三角形，简称生成三角形．
①画出等边△DEF的一个生成三角形，并标出生成三角形的各个角的度数；（不用尺规作图，画出简图即可）
②若等腰△ABC有一个内角等于36°，那么请你画出简图说明△ABC是生成三角形．（要求画出直线，标注出图中等腰三角形的顶角、底角的度数）
分析 （1）先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACD，∠BCD=∠B，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠B+∠A+∠ACD=180°，代入即可求出∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，即可推出答案；
（2）①延长△DEF的边EF至G，使得FG=DF，连接DG，△DEG即为所求；②若等腰三角形的顶角是36°，可画底角的角平分线，可得答案；若等腰三角形的顶角是108°，把顶角分成36°和72°两部分，可得答案．
解答 解：（1）逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知，如图，△ABC中，D是AB边的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵D是AB边的中点，且CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=BD=CD，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A，
∵BD=CD，
∴∠BCD=∠B，
又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）①如图所示，△DEG即为所求，其中∠E=60°，∠G=30°，∠EDG=90°；
②如图所示，等腰△ABC是生成三角形．
点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理的运用．解题时注意：等角对等边是判定等腰三角形的方法；三角形内角和是180°．
练习册系列答案
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