Question

13．如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm
（1）填空：AD=2$\sqrt{6}$（cm），DC=2$\sqrt{2}$（cm）
（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN，求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）
（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm²），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．
（参考数据sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AC，由∠CAD=30°，得出DC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，由三角函数求出AD即可；
（2）过N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，则NE=DF，求出∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函数求出FC，得NE=DF=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$，即可得出结果；
（3）由三角函数求出FN，得出PF，△PMN的面积y=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积，得出y是x的二次函数，即可得出y的最大值．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴DC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{3}$DC=2$\sqrt{6}$；
故答案为：2$\sqrt{6}$，2$\sqrt{2}$；
（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，如图所示：
则NE=DF，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，
∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，
∴∠NCF=180°-45°-60°=75°，∠FNC=15°，
∵sin∠FNC=$\frac{FC}{NC}$，NC=x，
∴FC=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x，
∴NE=DF=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$，
∴点N到AD的距离为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$；
（3）∵sin∠NCF=$\frac{FN}{NC}$，
∴FN=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x，
∵P为DC的中点，
∴PD=CP=$\sqrt{2}$，
∴PF=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+$\sqrt{2}$，
∴△PMN的面积y=梯形MDFN的面积-△PMD的面积-△PNF的面积
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{6}$-x）（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$）-$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{6}$-x）×$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+$\sqrt{2}$）（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$x）
=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$x²+$\frac{7-\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{3}$，
即y是x的二次函数，
∵$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$＜0，
∴y有最大值，
当x=-$\frac{\frac{7-\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{4}}{2×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}}$=$\frac{7-\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$时，
y有最大值为$\frac{6\sqrt{6}+7\sqrt{3}-10\sqrt{2}-30}{4\sqrt{2}-4\sqrt{6}}$=$\frac{8\sqrt{3}+23\sqrt{6}+9\sqrt{2}-16}{16}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能得出结果．