Question

2．如图1，已知抛物线y=-x²-2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=$\frac{1}{2}$x-a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；
（2）如图2，将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点为P，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD．当a=$\frac{9}{4}$时，判断点P是否落在在抛物线上，并求△PCD的面积；
（3）在抛物线y=-x²-2x+a（a＞0）上是否存在点Q，使得以Q，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立直线和抛物线解析式可整理得到关于x的一元二次方程，再由根的判别式可求得a的取值范围，再结合抛物线解析式可分别求得A、C的坐标；
（2）当a=$\frac{9}{4}$时，可求得M、A的坐标，则可求得直线MA的解析式，联立直线MA和BC解析式可求得N点坐标，则可求得P点坐标，代入抛物线解析式进行判断即可，再利用S_△PCD=S_△PAC-S_△ADC，可求得△PCD的面积；
（3）同（2）可先用a表示出N点坐标，当Q点在y轴左侧时，则可知点N、Q关于原点对称，可求得Q点坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，可求得Q点坐标；当Q点在y轴右侧时，则有NQ=AC，同样可表示出Q点的坐标，同理可求得Q点坐标．

解答 解：
（1）联立直线和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，整理得2x²+5x-4a=0，
∵直线BC和抛物线有两个不同交点，
∵△=25+32a＞0，解得a＞-$\frac{25}{32}$，
∵a≠0，
∴a的取值范围为：a＞-$\frac{25}{32}$且a≠0，
在y=-x²-2x+a（a≠0）中令x=0可得y=a，
∴A（0，a），
∵y=-x²-2x+a=-（x+1）²+1+a，
∴M（-1，1+a）；
（2）当a=$\frac{9}{4}$时，抛物线为y=-x²-2x+$\frac{9}{4}$，
∴M（-1，$\frac{13}{4}$），A（（0，$\frac{9}{4}$），

∴直线MA解析式为y=-x+$\frac{9}{4}$，直线BC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-a=$\frac{1}{2}$x-$\frac{9}{4}$，
所以联立两直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+\frac{9}{4}}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴N点坐标为（3，-$\frac{3}{4}$），
∴点N关于y轴的对称点P（-3，-$\frac{3}{4}$），

把x=-3代入抛物线可得y=-x²-2x+$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴点P在抛物线上，
∴S_△PCD=S_△PAC-S_△ADC=$\frac{1}{2}$|AC|•|x_P|-$\frac{1}{2}$|AC|•|x_D|=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×（3-1）=$\frac{9}{2}$；
（3）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，a），M（-1，1+a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+a=-k+b}\\{a=b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=a}\end{array}\right.$，
∴直线MA的解析式为y=-x+a，
联立直线MA和直线BC解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4a}{3}}\\{y=-\frac{a}{3}}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），
①当点Q在y轴左侧时，
∵四边形AQCN是平行四边形，
∴AC与QN互相平分，
∵N（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），
∴Q（-$\frac{4a}{3}$，$\frac{a}{3}$），
代入y=-x²-2x+a得，$\frac{a}{3}$=-$\frac{16}{9}$a²+$\frac{8}{3}$a+a，解得a=$\frac{15}{8}$，
∴Q（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{8}$）；
②当点Q在y轴右侧时，
∵四边形ACQN是平行四边形，
∴NQ∥AC且NQ=AC，
∵N（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），A（0，a），C（0，-a），
∴Q（$\frac{4a}{3}$，-$\frac{7a}{3}$），
代入y=-x²-2x+a得，-$\frac{7a}{3}$=-$\frac{16}{9}$a²-$\frac{8}{3}$a+a，解得a=$\frac{3}{8}$，
∴Q（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{8}$）；
综上可知存在满足条件的Q点，其坐标为（-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{8}$）或（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{8}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、一元二次方程根的判别式、三角形的面积、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中掌握方程根的个数即为图象交点的个数是解题的关键，在（2）中求得N点坐标是解题的关键，在（3）中利用平行四边形的性质分别求得Q点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．