题目内容
7．在等腰△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，点O、点P分别在射线AD、BA上的运动，且保证∠OCP=60°，连接OP．（1）当点O运动到D点时，如图一，此时AP=AD，△OPC是什么三角形．
（2）当点O在射线AD其它地方运动时，△OPC还满足（1）的结论吗？请用利用图二说明理由．
（3）令AO=x，AP=y，请直接写出y关于x的函数表达式，以及x的取值范围．
分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=30°，求得∠ACP=30°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过C作CE⊥AP于E，根据等边三角形的性质得到CD=CE，根据全等三角形的性质得到OC=OP，由等边三角形的判定即可得到结论；
（3）在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，根据求得解实现的性质得到PA=BQ，求得AC=AO+AP，即可得到结论．
解答 解：（1）∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°，
∵∠OCP=60°，
∴∠ACP=30°，
∵∠CAP=180°-∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=60°，
在△ADC与△APC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠DAC}\\{AC=AC}\\{∠ACD=∠ACP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACP，
∴CD=CP，
∴△PCO是等边三角形；
故答案为：AD；
（2）△OPC还满足（1）的结论，
理由：过C作CE⊥AP于E，
∵∠CAD=∠EAC=60°，
AD⊥CD，
∴CD=CE，
∴∠DCE=60°，
∴∠OCE=∠PCE，
在△OCD与△PCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEC=∠ODC=90°}\\{∠OCD=∠PCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△PCE，
∴OC=OP，
∴△OPC是等边三角形；
（3）在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，
在△BQO和△PAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BQO=∠PAO}\\{∠ABO=∠APO}\\{OB=OP}\end{array}\right.$，
∴△BQO≌△PAO（AAS），
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC=AO+AP，
∵AO=x，AP=y，
∴y=-x+2，（0＜x＜2）；
点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BQO≌△PAO是解题的关键．
