Question

20．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E、F分别在BC、AD边上，将边AB沿AE折叠，点B落在对角线AC上的G处，将边CD沿CF折叠，点D落在对角线AC上的点H处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若AB=6，AC=10，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△AEG≌△CFH，从而可证明AE=FC，且AE∥FC，最后依据平行四边形的判定定理进行证明即可；
（2）先利用勾股定理求得BC的长，设BE=x，则EC=8-x，然后再Rt△EGC中，依据勾股定理列方程求解即可．

解答 解：（1）由翻折的性质可知AB=AG，CH=DC，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠BAG，∠FCH=$\frac{1}{2}$∠DCH．
又∵AB=CD，∠BAG=∠DCH，
∴AG=FC，∠EAG=∠FCH．
在△AEG和△FCH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGA=∠FHC}\\{AG=CH}\\{∠EAG=∠FCH}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FCH．
∴AE=CF，∠EAG=∠FCH．
∴AE∥FC．
∴四边形AECF是平行四边形．

（2）∵AB=6 AC=10，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=8．
设BE=x，则EG=x，EC=8-x．
∵AG=AB=6，
∴CG=4．
∵EG²+GC²=EC²，
∴x²+4²=（8-x）²，解得x=3
∴BE=3．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．