Question

10．如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F．
（1）求证：四边形AEDF是矩形；
（2）连接BD，若AB=AE=2，tan∠FAD=$\frac{2}{5}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，AE⊥DC，DF⊥BA，易证得四边形AEDF是平行四边形，继而证得四边形AEDF是矩形；
（2）由四边形AEDF是矩形，可得在Rt△AFD中，tan∠FAD=$\frac{FD}{AF}$=$\frac{2}{5}$，继而求得BF的长，然后由勾股定理求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AF∥ED，
∵AE⊥DC，DF⊥BA，
∴DF∥EA，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴四边形AEDF是矩形；

（2）如图，连接BD，
∵四边形AEDF是矩形，
∴FD=AE=2，∠F=90°，
∵在Rt△AFD中，tan∠FAD=$\frac{FD}{AF}$=$\frac{2}{5}$，
∵AF=5，
∴AB=2，
∴BF=AB+AF=7，
在Rt△BFD中，BD=$\sqrt{B{F}^{2}+F{D}^{2}}$=$\sqrt{53}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意利用三角函数，求得AB的长是关键．