Question

11．如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿线段AC运动，到点C停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB于点Q，再以PQ为斜边作等腰直角三角形△PQR，且点R与△ABC的另一条直角边BC始终在PQ同侧，设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．
（1）求PQ的长（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时点R恰好落在BC上？
（3）当点P在AC边上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）如图2，当t为何值时，点R恰好落在AB边上的高CH上？

Answer 1

分析 （1）只需利用三角函数就可解决问题；
（2）表示出RH，FC建立方程求解即可．
（3）可分△PQR全部在△ABC内和△PQR部分在△ABC内两种情况讨论：当△PQR全部在△ABC内时，只需运用三角形的面积公式就可解决问题；当△PQR部分在△ABC内时，只需运用割补法就可解决问题；
（4）可通过构造K型全等，并利用相似三角形的性质来解决问题．

解答 解：（1）如图①，

由题意可知AP=4t，
tanA=$\frac{PQ}{AP}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$，
∴PQ=3t；

（2）如图①，点R恰好落在BC上时，RH=PC=4-4t=$\frac{3}{2}$t，
∴t=$\frac{8}{11}$．
（3）①当0＜t≤$\frac{8}{11}$时，如图①．

过点R作RH⊥PQ于点H，
S=$\frac{1}{2}$PQ•RH=$\frac{1}{2}$×3t×$\frac{3}{2}$t=$\frac{9}{4}$t²．
②当$\frac{8}{11}$＜t＜1时，如图③．

过点R作RH⊥PQ于点H，交BC于点G，
则有RG⊥MN，RH=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{3}{2}$t，GH=PC=4-4t，
∴S=S_△RPQ-S_△RMN=$\frac{1}{2}$PQ•RH-$\frac{1}{2}$MN•RH
=RH²-RG²=（$\frac{3}{2}$t）²-[$\frac{3}{2}$t-（4-4t）]²
=-28t²+44t-16；

（4）点P在AC上，且点R在AB的高CH上，如图④，

过点P作PG⊥CH于G，
易证△PGR≌△RHQ，则有PG=RH，GR=QH．
易求得AB=5，CH=$\frac{12}{5}$，AH=$\frac{16}{5}$，BH=$\frac{9}{5}$．
PC=4-4t，CG=$\frac{3}{5}$PC=$\frac{3}{5}$（4-4t），PG=$\frac{4}{5}$PC=$\frac{4}{5}$（4-4t），
AQ=$\frac{4}{5}$AP=5t，QH=AH-AQ=$\frac{16}{5}$-5t．
根据CH=CG+GR+RH=CG+QH+PG=$\frac{12}{5}$，得
$\frac{3}{5}$（4-4t）+$\frac{16}{5}$-5t+$\frac{4}{5}$（4-4t）=$\frac{12}{5}$，
解得：t=$\frac{32}{53}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，在解决问题的过程中，用到了割补法和分类讨论等重要的数学思想方法，准确分类是解决本题的关键．