Question

3．已知：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）用尺规画圆O，使圆O过A、D两点，且圆心O在边AC上．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：BC与圆O相切；
（3）设圆O交AB于点E，若AE=2，CD=2BD．求线段BE的长和弧DE的长．

Answer 1

分析 （1）要使⊙O过A、D两点，即OA=OD，所以点O在线段AD的垂直平分线上，且圆心O在AC边上，所以作出AD的垂直平分线与AC的交点即为点O；
（2）要证明BC与⊙O相切，连接OD后，只需要证明∠ODC=90°即可；
（3）由于AE是⊙O的弦，可过点O作OF⊥AE于点F，然后利用垂径定理可知AF=1，利用△AOF∽△ACB求出AB的值，所以BE=AB-AE．再利用△OCD∽△ACB，求出半径OD，可知△AOE是等边三角形，所以$\widehat{DE}$所对的圆心角为60°，利用弧长公式即可求出$\widehat{DE}$的长度．

解答 解：（1）⊙O即为所求：


（2）连接OD，

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠OAD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴OD∥AB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
∵OD是半径，
∴BC与⊙O相切；

（3）连接OE，过点O作OF⊥AB于点F，

∵AE=2，
∴由垂径定理定理可知：AF=1，
∵CD=2BD，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵OF∥BC，
∴△AOF∽△ACB，
∴$\frac{OF}{BC}=\frac{AF}{AB}$，
∵OF=BD，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{AF}{AB}$，
∴$\frac{1}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB=3，
∴BE=AB-AE=1，
∵OD∥AB，
∴△OCD∽△ACB，
∴$\frac{OD}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴OD=2，
∴OA=OD=AE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AEO=60°
∵OD∥AB，
∴∠EOD=60°，
∴$\widehat{DE}$的长度是：$\frac{60°π×2}{180°}$=$\frac{2}{3}π$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及了尺规作图、相似三角形的判定与性质、圆的切线判定等知识，综合性较强，尺规作图是解答本题的关键．解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．