Question

15．如图，Rt△ABC和Rt△DEC如图①叠放在一起，AB=DE=4，AC=DC=5，将△DEC绕点C顺时针旋转．
（1）如图②，当点E所经过的路径长为$\frac{π}{2}$时，求旋转角的度数；
（2）如图③，当点E恰好落在AC边上时，求△BEC的面积．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中根据勾股定理得到BC=3，再利用旋转的性质得CE=CB=3，∠BCE等于旋转角，设∠BCE=n°，则根据弧长公式得到$\frac{n•π•3}{180}$=$\frac{π}{2}$，解得n=30，于是得到旋转角的度数为30°；
（2）作EH⊥BC于H，如图③，证明△CEH∽△CAB，利用相似比计算出EH=$\frac{12}{5}$，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=5，
∴BC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵△DEC绕点C顺时针旋转，
∴CE=CB=3，∠BCE等于旋转角，
设∠BCE=n°，
∴$\frac{n•π•3}{180}$=$\frac{π}{2}$，解得n=30，
∴旋转角的度数为30°；
（2）作EH⊥BC于H，如图③，
∵EH∥AB，
∴△CEH∽△CAB，
∴$\frac{EH}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，即$\frac{EH}{4}$=$\frac{3}{5}$，解得EH=$\frac{12}{5}$，
∴S_△BEC=$\frac{1}{2}$•BC•EH=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{12}{5}$=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．