Question

5．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，四边形ADFE是平行四边形．

Answer 1

分析 由三角形ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC=∠AEF，再由一对直角相等，及AE=AB，利用AAS即可得证△ABC≌△EAF；由∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA垂直于AB，而EF垂直于AB，得到EF与AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD，可得出一组对边平行且相等，即可得证．

解答 解：当$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，四边形ADFE是平行四边形．
理由：∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CAB=30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，
∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，
∴∠FEA=∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EFA}\\{∠BAC=∠AEF}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EAF（AAS）；
∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，
∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．