Question

13．已知|xy-2|+|y-1|=0，求$\frac{1}{xy}$+$\frac{1}{（x+1）（y+1）}$+$\frac{1}{（x+2）（y+2）}$+…+$\frac{1}{（x+2015）（y+2015）}$的值．

Answer 1

分析 先利用非负数的性质得xy-2=0，y-1=0，解得x=2，y=1，则原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2015}$，然后利用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$把每个分数化为两个分数的差，然后合并即可．

解答 解：∵|xy-2|+|y-1|=0，
∴xy-2=0，y-1=0，
∴x=2，y=1，
∴原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2015}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了非负数的性质和运用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$进行计算．