Question

3．如图，在Rt△OAB，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA₁B₁．连结AA₁
（1）求证：四边形OAA₁B₁是平行四边形；
（2）求线段AB扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得∠AOA₁=90°，∠OA₁B₁=∠OAB=90°，OA=AB=OA₁=A₁B₁，则可判断OA∥A₁B₁，然后根据平行四边形的判定方法即可得到结论；
（2）如图，先利用勾股定理计算出OB=6$\sqrt{2}$，然后根据扇形面积公式，利用线段AB扫过的面积=S_扇形BOB1+S_△AOB-S_扇形AOA1-S_△A1OB1=S_扇形BOB1-S_扇形AOA1进行计算即可．

解答 （1）证明：∵△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA₁B₁，
∴∠AOA₁=90°，∠OA₁B₁=∠OAB=90°，OA=AB=OA₁=A₁B₁，
∵∠AOA₁=∠OA₁B₁，
∴OA∥A₁B₁，
而OA=A₁B₁，
∴四边形OAA₁B₁是平行四边形；
（2）如图，
∠OAB=90°，∵OA=AB=6，
∴OB=$\sqrt{2}$OA=6$\sqrt{2}$，
线段AB扫过的面积=S_扇形BOB1+S_△AOB-S_扇形AOA1-S_△A1OB1
=S_扇形BOB1-S_扇形AOA1
=$\frac{90•π•（6\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{90•π•{6}^{2}}{360}$
=9π．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定与扇形面积公式．