Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若CD=3，BF=1，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，利用AB=AC，OD=OC，证得OD∥AB，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；
（2）根据内接四边形的性质得到∠AED+∠ACD=180°，由于∠AED+∠BED=180°，得到∠BED=∠ACD，由于∠B=∠B，推出△BED∽△BCA，根据相似三角形的性质得到$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，∠DEB=∠ODC，得到∠B=∠DEB，求得BE=2BF=2，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，BC=6，即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，
连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；

（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{BC}$，∠DEB=∠ODC，
∴∠B=∠DEB，
∴BD=DE，
∴BE=2BF=2，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴BC=6，
∴$\frac{3}{AB}=\frac{2}{6}$，
∴AB=9，
∴AE=AB-BE=7．

点评 此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，圆内接四边形的性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．