Question

已知，如图1，抛物线过点且对称轴为直线点Ｂ为直线OA下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m.

（1）求该抛物线的解析式：
（2）若的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）如图2，过点B作直线轴，交线段OA于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；
（2）S，；
（3）存在，点B为或

试题分析：（1）根据抛物线过点且对称轴为直线即可求得结果；
（2）过点B作轴，交于点，则可得直线为，则可设点，点即可表示出BH，再根据三角形的面积公式即可表示出S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求得最大值；
（3）设在抛物线的对称轴上存在点D满足题意，过点D作于点Q，则由(2)有点，点B，即可表示BC，由△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形可得，则可得且，再结合绝对值的性质分类讨论即可.
（1）由题知：解之，得
该抛物线的解析式为：
（2）过点B作轴，交于点由题知直线为：
设点点



 
（3）设在抛物线的对称轴上存在点D满足题意，
过点D作于点Q，则由(2)有点，点B

是以D为直角顶点的等腰直角三角形
即是：且
若解之：（舍去），
时，

若解之：（舍去）
当时,

综上，满足条件的点B为或.
点评：本题是一道综合性的题目，主要考查了学生对二次函数的综合应用能力，是中考压轴题，难度较大．