题目内容

(本题12分)已知两直线分别经过点A(3,0),点B(-1,0),并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时,恰好有,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点D,如图所示。

(1)求抛物线的函数解析式;
(2)当直线绕点C顺时针旋转一个锐角时,它与抛物线的另一个交点为P(x,y),求四边形APCB面积S关于x的函数解析式,并求S的最大值;
(3)当直线绕点C旋转时,它与抛物线的另一个交点为P,请找出使△PCD为等腰三角形的点P,并求出点P的坐标。
(1)可由两角相等证得:△BOC∽△COA。
,即

∴C(0,-)
,把(0,-)代入,得a=
∴抛物线的函数解析式为
(2)
(0<x<3)
当x=时,S的最大值是
(3)可得直线,直线
抛物线的对称轴为,抛物线顶点为(1,),由此得D(1,)
① 以点D为圆心,线段DC长为半径画弧,交抛物线于点,由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点,
∴点(2,),此时△为等腰三角形;
② 当以点C为圆心,线段CD长为半径画弧时,与抛物线交点为点和点B,而三点B、C、D在同一直线上,不能构成三角形;
③ 作线段DC的中垂线,交CD于点M,交抛物线于点P2,P3,交y轴于点F,
因为BO=1,,所以∠MCF=∠OCB=30°,
而CD=2,CM=CD=1,则CF=,OF=
则F(0,),因,所以直线
代入,解得x=1或x=2,
说明P2就是顶点(1,),
P3就是P1(2,)
综上所述,当点P为(-2,)或(1,)时,△PCD为等腰三角形。

试题分析:(1)由两组底脚相等,推导出两个三角形相似,从而确立C点坐标,再结合AB两点的坐标,可以求得二次函数解析式。
(2)由于绕C点运动,因此P的坐标设为(x,y),四边形面积可以写为无未知量,可以由的高分别为-y和x,又P点为抛物线上一点,所以可以算出y和x的关系式,进而求出S与x的函数式。由于解出来的函数为二次函数,x的取值范围已知,求出函数对称轴,得出函数对称轴在此范围内,所以要求最大值,实际上则是代入对称轴所对应的x值,可得出S。
(3)通过分类讨论,各种不同的情况所对应的等腰三角形也不相同,由已知条件可以推导出两条直线的方程,结合函数图像,可以得出P点的坐标。
点评:一般试卷最后一道题都是综合性的题目,学生需要掌握几何图形以及函数图形、函数表达式的知识,从而将复杂的题目简单化,进而可以求出一些未知量。
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