Question

（本题12分）已知两直线，分别经过点A(3，0)，点B(－1，0)，并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时，恰好有，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点D，如图所示。

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当直线绕点C顺时针旋转一个锐角时，它与抛物线的另一个交点为P(x，y)，求四边形APCB面积S关于x的函数解析式，并求S的最大值；
（3）当直线绕点C旋转时，它与抛物线的另一个交点为P，请找出使△PCD为等腰三角形的点P，并求出点P的坐标。

Answer 1

（1）可由两角相等证得：△BOC∽△COA。
得，即，
∴，
∴C(0，－)
设，把(0，－)代入，得a＝，
∴抛物线的函数解析式为
（2）
（0＜x＜3）
当x＝时，S的最大值是
（3）可得直线为，直线为，
抛物线的对称轴为，抛物线顶点为(1，)，由此得D(1，)
① 以点D为圆心，线段DC长为半径画弧，交抛物线于点，由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点，
∴点(2，)，此时△为等腰三角形；
② 当以点C为圆心，线段CD长为半径画弧时，与抛物线交点为点和点B，而三点B、C、D在同一直线上，不能构成三角形；
③ 作线段DC的中垂线，交CD于点M，交抛物线于点P₂，P₃，交y轴于点F，
因为BO＝1，，所以∠MCF＝∠OCB＝30°，
而CD＝2，CM＝CD＝1，则CF＝，OF＝，
则F(0，)，因∥，所以直线为，
代入，解得x＝1或x＝2，
说明P₂就是顶点(1，)，
P₃就是P₁(2，)
综上所述，当点P为(－2，)或(1，)时，△PCD为等腰三角形。

试题分析：（1）由两组底脚相等，推导出两个三角形相似，从而确立C点坐标，再结合AB两点的坐标，可以求得二次函数解析式。
（2）由于绕C点运动，因此P的坐标设为(x,y)，四边形面积可以写为，无未知量，和可以由的高分别为-y和x，又P点为抛物线上一点，所以可以算出y和x的关系式，进而求出S与x的函数式。由于解出来的函数为二次函数，x的取值范围已知，求出函数对称轴，得出函数对称轴在此范围内，所以要求最大值，实际上则是代入对称轴所对应的x值，可得出S。
（3）通过分类讨论，各种不同的情况所对应的等腰三角形也不相同，由已知条件可以推导出两条直线的方程，结合函数图像，可以得出P点的坐标。
点评：一般试卷最后一道题都是综合性的题目，学生需要掌握几何图形以及函数图形、函数表达式的知识，从而将复杂的题目简单化，进而可以求出一些未知量。