Question

10．如图，⊙O中，弦AB、CD相交点P，弦CA、BD的延长线交于S，∠APD=2m°，∠PAC=m°+15°．
（1）求∠S的度数；
（2）连AD，BC，若$\frac{BC}{AD}$=$\sqrt{3}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可知：∠PAC=∠PDB=m°+15°，从而可知∠PDS=∠PAS，由于∠APD=2m°，利用四边形内角和即可得出∠S的度数；
（2）过点C作CE⊥BD于点E，由圆内接四边形的性质可知：∠DAS=∠SBC，从而可证明△SAD∽△SBC，从而可求出ED、CE的长度，从而可得出∠ECD的度数，进而求出m的值．

解答 解：（1）由圆周角定理可知：∠PAC=∠PDB=m°+15°，
∴∠PDS=∠PAS=180-（m°+15°）=165°-m°，
∵∠APD=2m°，
∴∠S=360°-∠PDS-∠PAS-∠APD
=360°-2（165°-m°）-2m°
=30°，
（2）过点C作CE⊥BD于点E，
由圆内接四边形的性质可知：∠DAS=∠SBC，
∵∠S=∠S，
∴△SAD∽△SBC，
∴$\frac{SD}{SC}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
设SD=1，SC=$\sqrt{3}$，
∵∠S=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$SC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴SE=$\sqrt{3}$CE=$\frac{3}{2}$，
∴ED=SE-SD=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ECD=$\frac{ED}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ECD=30°，
∴∠EDC=60°，
∴m°+15°=60°，
∴m=45，

点评 本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，锐角三角函数等知识，本题属于中等题型．