Question

9．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．
（2）求证：EF与MN互相垂直．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和全等三角形的性质得出∠A=90°，即可得出结论；
（2）先证明四边形MENF是平行四边形，再证明平行四边形MENF是菱形，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠A+∠D=180°，
又∵△ABM≌△DCM，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM．
∴NE=FM，NE∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM．
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME=MF．
∴平行四边形MENF是菱形．
∴EF与MN互相垂直．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质，菱形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题（2）的关键．