Question

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°）．得到△A′B′C．
（1）连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S_△ACA′和S_△BCB′，求证：S_△ACA′：S_△BCB′=1：3；
（2）M，N分别为A′A、B′B的中点，若AC=1，θ=120°，则MN的长度是1．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可得△ACA′和△BCB′都是等腰三角形，并且∠ACA′=∠BCB′=30°，所以△ACA′∽△BCB′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到它们面积的比等于CA²：CB²；
（2）根据已知条件得到BC=$\sqrt{3}$，根据旋转的性质得到A′C=AC，B′C=BC，∠ACA′=∠BCB′=120°，求得∠CAM=∠CBN=30°，连接CM，CN，根据等腰三角形的性质得到CM⊥AA′，CN⊥BB′，根据直角三角形的性质得到CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC绕顶点C顺时针旋转θ，得到△A′B′C，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′=θ，
∴△ACA′∽△BCB′，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=（$\frac{AC}{BC}$）²=tan²30°=$\frac{1}{3}$；

（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BC=$\sqrt{3}$，
∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为120°，
∴A′C=AC，B′C=BC，∠ACA′=∠BCB′=120°，
∴∠CAM=∠CBN=30°，
如图2，连接CM，CN，
∵M，N分别为A′A、B′B的中点，
∴CM⊥AA′，CN⊥BB′，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠NCM=120°+90°-60°-60°=90°，
∴MN=$\sqrt{C{N}^{2}+C{M}^{2}}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等的两三角形相似；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了旋转的性质．