Question

5．探究：换元法是重要的数学思想方法，用换元法可解决许多数学问题，请看例题：
解方程：x⁴-2x²-3=0．
解：设x²=y，则原方程化为y²-2y-3=0．
解关于y的一元二次方程，得y₁=-1，y₂=3．
当y=-1时，即x²=-1，此时方程无实数根；
当y=3时，即x²=3解得x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$．
所以原方程的根是x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$．
请你用换元法解下列方程：
（1）$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{5}{x}$+6=0；
（2）（x²-2）-2（x²-2）-8=0．

Answer 1

分析 （1）根据题意设$\frac{1}{x}=a$，即可解答此方程；
（2）根据题意设x²-2=8，即可解答此方程．

解答 解：（1）$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{5}{x}$+6=0
设$\frac{1}{x}=a$，
则a²-5a+6=0
解得，a₁=2，a₂=3，
∴$\frac{1}{x}=2$或$\frac{1}{x}=3$，
解得，${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{1}{3}$，
经检验${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{1}{3}$是原分式方程的解；
（2）（x²-2）-2（x²-2）-8=0，
设x²-2=a，
则a-2a-8=0，
解得，a=-8，
∴x²-2=8，
解得，${x}_{1}=\sqrt{10}，{x}_{2}=-\sqrt{10}$．

点评 本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确换元法解一元二次方程的方法．