Question

13．如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，若∠AED=2∠EAD，AC=8．求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由四边形ABCD是平行四边形，可得AO=CO．又由△ACE是等边三角形，可得AE=CE．根据三线合一，对角线垂直，即可得四边形既为菱形；
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°，即四边形ABCD是正方形，利用正方形的性和等边三角形的性质即可求出DE的长．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，
∵△ACE是等边三角形．
∴OE⊥AC，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵△ACE是等边三角形，OE⊥AC，
∴∠AEO=$\frac{1}{2}$∠AEC=30°，
∵∠AED=2∠EAD，
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，BD⊥AC，
∴∠CDB=∠ADB=45°
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴OA=OC=OD=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO=60°
在Rt△AOE中，OE=OAtan60°=4$\sqrt{3}$
∴DE=OE-OD=4$\sqrt{3}$-4．

点评 此题主要考查菱形和正方形的判定．本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度中等．注意灵活运用正方形和菱形的判定方法．