Question

8．如图1，△ABE、△BCD均为直角三角形，且点E在线段BC上，∠ABC=∠BCD=90°，AB=nBE，EC=kCD，AE⊥BD于H．
（1）当n=2，k=1时，求证：AE=BD；
（2）在（1）的条件下，求tan∠BCH的值；
（3）如图2，当AE平分BD时，请直接写出k=0（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC=∠BCD=90°，AE⊥BD，于是得到∠A+∠ABH=∠ABH+∠DBC，证得∠A=∠DBC，由于tanA=tan∠DBC=$\frac{BE}{AB}$=2，证得CD=BE，于是得到△ABE≌△BCD，即可得到结论；
（2）设BE=1，则AB=n，根据勾股定理可得AE=$\sqrt{{n}^{2}+1}$，由（1）证得△ABE≌△BCD，于是得到CD=BE=1，BC=AB=n，根据三角形的面积公式得到BH=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，求得HD=BD-BH=AE-BH=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，如图1，延长CH交AB于点M，证得△MHB∽△CHD，求得MB=$\frac{1}{{n}^{2}}$，即可得到结果；
（3）当AE平分BD时，即BH=HD，即$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，求得n=1（负值舍去），由于EC=kCD，即BC-BE=kCD，得到k=0，此时△ABE和△BCD均为等腰直角三角形，点E与点C重合．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠BCD=90°，AE⊥BD，
∴∠A+∠ABH=∠ABH+∠DBC，
∴∠A=∠DBC，
∵tanA=tan∠DBC=$\frac{BE}{AB}$=2，
∴BC=2CD，
∵CD=CE，
∴CD=BE，
在△ABE与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DBC}\\{∠ABC=∠BCD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCD，
∴AE=BD；

（2）设BE=1，则AB=n，根据勾股定理可得AE=$\sqrt{{n}^{2}+1}$，
由（1）证得△ABE≌△BCD，
∴CD=BE=1，BC=AB=n，
∵AH⊥BD，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$AE•BH，
∴BH=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
∴HD=BD-BH=AE-BH=$\sqrt{{n}^{2}+1}$-$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
如图1，延长CH交AB于点M，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD，
∴△MHB∽△CHD，
∴$\frac{MB}{CD}=\frac{BH}{CD}$，
即$\frac{MB}{1}=\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴MB=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴tan∠BCH=$\frac{MB}{BC}$=$\frac{MB}{AB}$=$\frac{1}{{n}^{3}}$；

（3）当AE平分BD时，
即BH=HD，
即$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$，
∴n=1（负值舍去），
∵EC=kCD，
即BC-BE=kCD，
即n-1=k•1，
∴k=0，
此时△ABE和△BCD均为等腰直角三角形，点E与点C重合．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．