Question

17．已知两个以点O为圆心的圆，OA，OB是大圆的半径．
（1）如图①，OA，OB交小圆于点C和D，直线CD交大圆于点E和F，求证：$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
（2）如图②，延长AO，BO交小圆于点C和D，直线CD交大圆于点E和F，$\widehat{AE}$和$\widehat{BF}$是否相等？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理，可得$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$，根据相似三角形的判定与性质，可得∠OCD=∠OAB，根据平行的性质，可得垂径定理，根据垂径定理，可得$\widehat{AG}=\widehat{BG}$，根据等式的性质，可得答案；
（2）根据垂径定理，可得$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$，根据相似三角形的判定与性质，可得∠OCD=∠OAB，根据平行的性质，可得垂径定理，根据垂径定理，可得$\widehat{AG}=\widehat{BG}$，根据等式的性质，可得答案．

解答 （1）证明：如图1，接接AB，OE，OF，作OG⊥CD，，
∵OG⊥EF，
∴$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$．
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}}\\{∠COD=∠AOB}\end{array}\right.$，
∴△COD∽△AOB，
∴∠OCD=∠OAB，
∴CD∥AB，
又∵OG⊥CD，
∴OG⊥AB，
∴$\widehat{AG}=\widehat{BG}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$；
（2）如图2接接AB，OE，OF，作OG⊥CD，，
∵OG⊥EF，
∴$\widehat{EG}$=$\widehat{FG}$．
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}}\\{∠COD=∠AOB}\end{array}\right.$，
∴△COD∽△AOB，
∴∠OCD=∠OAB，
∴CD∥AB，
又∵OG⊥CD，
∴OG⊥AB，
∴$\widehat{AG}=\widehat{BG}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BF}$．

点评 本题考查了两圆的位置关系，利用了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等式的性质，利用垂径定理得出平分弦所对的弧是解题关键．