Question

4．已知：如图，⊙O中的弦AB与弦CD交于点P，点M、N分别是AB、CD的中点，$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，求证：△PMN是等腰三角形．

Answer 1

分析 连结OM，ON，OA，OD，根据等弧对等弦得AB=CD，根据垂径定理得AM=DN，在Rt△OMA和Rt△OND中，根据勾股定理得到OM=ON，根据等腰三角形的性质和角的和差关系得到∠PMN=∠PNM，根据等腰三角形的判定即可求解．

解答 证明：连结OM，ON，OA，OD，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
∵点M、N分别是AB、CD的中点，
∴∠OMA=∠OMP=90°，∠OND=∠ONP=90°，AM=$\frac{1}{2}$AB，DN=$\frac{1}{2}$CD，
∴AM=DN，
∵OA=OD，
在Rt△OMA和Rt△OND中，OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$，ON=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$，
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形．

点评 此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是证明OM=ON．