Question

9．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 连接OD，作OE⊥CD于E，由垂径定理得出CE=DE，证明△OEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在Rt△ODE中，由勾股定理求出DE=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，得出CD=2DE=$\sqrt{14}$即可．

解答 解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴CD=2DE=$\sqrt{14}$；
故答案为：$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．