Question

如图，取平行四边形纸片ABCD，AB=6cm，BC=8cm，∠B=90°，将纸片折叠，使C点与A点重合，折痕为EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求折痕EF的长？

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,菱形的判定,矩形的性质

专题：

分析：（1）平行四边形对角线互相垂直即为菱形；
（2）第二问中在直角三角形中，对角线BD是已知，可设BE的长为x，利用勾股定理求出BE，OE即可．

解答：证明：（1）∵纸片沿过BD的中点D的直线对折、使B与D点重合，
∴OD=OB，∠DOE=∠BOF，
∵AB∥CD，
∴∠ODE=∠OBF，
∴△DOE≌△BOF，所以DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF为菱形；

解：（2）连接BE，由题意可得：EF垂直平分BD，
所以BE=DE，又OB=

1

2

BD=

1

2

62+82

=5，
设BE=ED=x，则CE=8-x，
在直角△BCE中，由勾股定理可得：x²=（8-x）²+6²，解得x=

25

4

，
又在直角△ODE中，由勾股定理可得：OE=

DE2-OD2

=

( 25 4 )2-52

=

15

4

，
而△DOE≌△BOF，
所以OE=OF，
故EF=

15

2

．

点评：本题考查了翻折变换，用到菱形的判定以及矩形的性质掌握菱形性质的判定，会利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．