Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（-3，0），（0，4），抛物线y=

2

3

x²+bx+c经过B点，且顶点在直线x=

5

2

上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，是否存在点M使△CDM的面积最大？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据抛物线的顶点所在的直线列式求出b的值，再把点B的坐标代入抛物线解析式求出c的值，即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的四条边都相等可得AB=BC=AD，然后求出点C、D的坐标，再根据二次函数图象上点的坐标特征解答；
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据平行线间的距离相等以及三角形的面积可知当过点M平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时，点M到CD的距离最大，△CDM的面积最大，把抛物线与直线的解析式联立消掉未知数y，利用根的判别式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线顶点在直线x=

5

2

上，
∴-

b

2× 2 3

=

5

2

，
解得b=-

10

3

，
∵抛物线y=

2

3

x²+bx+c经过点B（0，4），
∴c=4，
∴抛物线对应的函数关系式为y=

2

3

x²-

10

3

x+4；

（2）四边形ABCD是菱形时，点C、D在该抛物线上．
理由如下：∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=5，
∴点C（5，4），D（2，0），
当x=5时，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=

50

3

-

50

3

+4=4，
当x=2时，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=

8

3

-

20

3

+4=0，
∴点C、D在该抛物线上；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-3k+b=0 b=4

，
解得

k= 4 3 b=4

，
所以，直线AB的解析式为y=

4

3

x+4，
当过点M平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时，点M到CD的距离最大，△CDM的面积最大，
此时，设过点M的直线解析式为y=

4

3

x+m，
联立

y= 2 3 x2- 10 3 x+4 y= 4 3 x+m

，
消掉y得，

2

3

x²-

10

3

x+4=

4

3

x+m，
整理得，2x²-14x+12-3m=0，
△=b²-4ac=（-14）²-4×2×（12-3m）=0，
解得m=-

25

6

，
此时，x=-

-14

2×2

=

7

2

，
y=

4

3

×

7

2

-

25

6

=

1

2

，
所以，点M（

7

2

，

1

2

）使△CDM的面积最大．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴解析式，二次函数图象上点的坐标特征，菱形的四条边都相等的性质，平行直线的解析式的k值相等，三角形的面积，联立两函数解析式求交点坐标，难点在于（3）根据等底的三角形高越大，面积越大判断出抛物线与过点M与AB平行的直线只有一个交点时△CDM的面积最大．