题目内容
如图，在平面直角坐标系中，以M（1，0）为圆心，2为半径作⊙M与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点G，点B与点N关于y轴对称，连接NG与GM．（1）抛物线
经过点B，求此抛物线函数解析式；（2）求证：NG是⊙M的切线；
（3）该抛物线上是否存在这样的动点P，过P作PF垂直x轴于F，使得△PNF与△GOM相似？若存在，求出动点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）
【答案】分析：（1）首先根据圆的半径求出点B的坐标，利用待定系数法将B点的坐标代入抛物线的解析式
，就可以求出b的值，从而求出抛物线的解析式．
（2）由勾股定理及点M的坐标可以求出OG的长，由B、N关于y轴对称求出N点的坐标及ON的距离，从而证明△NOG∽△COM，从而得出∠NGO=∠GMO，可以得出∠NGM=90°，得出NG⊥MG．从而证明NG是⊙M的切线．
（3）设出点P的坐标，利用三角形相似对应线段成比例就可以求出点P的坐标．
解答：解：（1）∵M（1，0），
∴OM=1，
∵⊙M的半径是2，
∴GM=2，MB=2，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴0=
解得：
b=
，
∴抛物线的解析式为：
；
（2）∵点B与点N关于y轴对称，
∴NO=OB=3
在Rt△GOM中由勾股定理，得
OG=
=
∴
，
∴
，且∠NOG=∠MOG=90°，
∴△NOG∽△GOM，
∴∠NGO=∠GMO．
∵∠GMO+∠OGM=90°，
∴∠NGO+∠OGM=90°，
即∠NGM=90°
∴MG⊥AG，
∴NG是⊙M的切线；
（3）设P（a，
）
∴OF=-a，PF=
，
∴NF=3+a．
当△NFP∽△GOM时，
∴
，
∴
解得：a=2±
∴P（2+
，
）或P（2-
，
）
当△NFP∽△MOG时，
∴
，
∴
，
解得：a=3不符合题意．
∴P点的坐标为：P（2+
，
）或P（2-
，
）．
点评：本题是一道二次函数综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，圆与切线相切的判定及运用，相似三角形的判定和运用及动点问题．
，就可以求出b的值，从而求出抛物线的解析式．（2）由勾股定理及点M的坐标可以求出OG的长，由B、N关于y轴对称求出N点的坐标及ON的距离，从而证明△NOG∽△COM，从而得出∠NGO=∠GMO，可以得出∠NGM=90°，得出NG⊥MG．从而证明NG是⊙M的切线．
（3）设出点P的坐标，利用三角形相似对应线段成比例就可以求出点P的坐标．
解答：解：（1）∵M（1，0），
∴OM=1，
∵⊙M的半径是2，
∴GM=2，MB=2，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴0=
解得：b=
，∴抛物线的解析式为：
；（2）∵点B与点N关于y轴对称，
∴NO=OB=3
在Rt△GOM中由勾股定理，得
OG=
=
∴
，
∴
，且∠NOG=∠MOG=90°，∴△NOG∽△GOM，
∴∠NGO=∠GMO．
∵∠GMO+∠OGM=90°，
∴∠NGO+∠OGM=90°，
即∠NGM=90°
∴MG⊥AG，
∴NG是⊙M的切线；
（3）设P（a，
）∴OF=-a，PF=
，∴NF=3+a．
当△NFP∽△GOM时，
∴
，∴
解得：a=2±
∴P（2+
，
）或P（2-
，
）当△NFP∽△MOG时，
∴
，∴
，解得：a=3不符合题意．
∴P点的坐标为：P（2+
，
）或P（2-
，
）．点评：本题是一道二次函数综合试题，考查了用待定系数法求函数的解析式，圆与切线相切的判定及运用，相似三角形的判定和运用及动点问题．
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