Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为1，点D在x轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E．
（1）求∠BEC的度数．
（2）求过B、O、D三点的抛物线的解析式．
（3）求点E的坐标．

Answer 1

考点：正方形的性质,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOB=∠COB=45°，根据等边对等角可得∠OBE=∠ODE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BEC=∠OBE+∠COB；
（2）根据正方形的边长写出点B的坐标，利用勾股定理求出OB，再写出点D的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）求出△BCE和△DOE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出

CE

OE

，然后求出OE的长度，再写出点E的坐标即可．

解答：解：（1）∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOB=∠COB=45°，
∵OD=OB，
∴∠OBE=∠ODE，
由三角形的外角性质得，∠OBE+∠ODE=∠AOB=45°，
∴∠OBE=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠BEC=∠OBE+∠COB=22.5°+45°=67.5°；

（2）∵正方形AOCB的边长为1，
∴点B的坐标为（-1，1），OB=

12+12

=

2

，
∴点D的坐标为（

2

，0），
设过B、O、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0），
则

a-b=1 2a+ 2 b=0

，
解得

a= 2 -1 b= 2 -2

．
所以抛物线解析式为y=（

2

-1）x²+（

2

-2）x；

（3）∵BC∥AD，
∴△BCE∽△DOE，
∴

CE

OE

=

BC

OD

=

1

2

，
∴OE=1×

2

2 +1

=2-

2

，
所以点E的坐标为（0，2-

2

）．

点评：本题考查了正方形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，计算时要注意分母有理化．