题目内容
如图，已知抛物线y=
x2+bx+c与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=-
，直线AD交抛物线于点D（2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为第三象限内抛物线上的一动点，当点M在什么位置时四边形AMCO的面积最大？并求出最大值；
（3）当四边形AMCO面积最大时，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线BC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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| 2 |
| 3 |
| 2 |
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为第三象限内抛物线上的一动点，当点M在什么位置时四边形AMCO的面积最大？并求出最大值；
（3）当四边形AMCO面积最大时，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线BC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据待定系数法即可求得解析式；
（2）根据解析式求得抛物线与x轴的交点坐标，设点M坐标为（m，
m2+
m-2），连接MO，根据S四边形AMCO=S△AMO+S△CMO得出关于m的函数关系式，把函数关系式转化成顶点式即可求得当点M为（-2，-3）时四边形AMCO面积有最大值，最大值为8；
（3）设直线x=-2与x轴交于点G，与直线BC交于点F．设直线BC的解析式为y=kx+b，根据B、C的坐标求得直线BC的解析式，进而求得F的坐标，得出GF的长，根据勾股定理求得BF的长，设Q（-2，n），则在Rt△QGO中，由勾股定理得出OQ的长，然后根据Rt△BGF∽Rt△QEF对应边成比例得出关于n的方程，解这个方程，即可求得n的值，进而求得Q的坐标；
（2）根据解析式求得抛物线与x轴的交点坐标，设点M坐标为（m，
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（3）设直线x=-2与x轴交于点G，与直线BC交于点F．设直线BC的解析式为y=kx+b，根据B、C的坐标求得直线BC的解析式，进而求得F的坐标，得出GF的长，根据勾股定理求得BF的长，设Q（-2，n），则在Rt△QGO中，由勾股定理得出OQ的长，然后根据Rt△BGF∽Rt△QEF对应边成比例得出关于n的方程，解这个方程，即可求得n的值，进而求得Q的坐标；
解答：解：（1）∵抛物线y=
x2+bx+c的对称轴是直线x=-
，
∴x=-
=-
=-
，解得b=
．
∵抛物线y=
x2+bx+c经过D（2，3），
∴3=
×22+2×
+c，解得c=-2．
∴抛物线的解析式为y=
x2+
x-2．
（2）如图①，抛物线的解析式为：y=
x2+
x-2，
令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2）．
令y=0，得x=-4或1，
勾股定理∴A（-4，0）、B（1，0）．
设点M坐标为（m，
m2+
m-2），连接MO．
则S四边形AMCO=S△AMO+S△CMO
=
×4×(-
m2-
m+2)+
×1×(-m)
=-（m+2）2+8
∴当m=-2时，
m2+
m-2=-3
∴当点M为（-2，-3）时四边形AMCO面积有最大值，最大值为8．
（3）如图②，假设存在这样的⊙Q．
设直线x=-2与x轴交于点G，与直线BC交于点F．设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B（1，0）、C（0，-2）代入得：
，解得：k=2，b=-2，
∴直线BC解析式为：y=2x-2，
令x=-2，得y=-6，
∴F（-2，-6），GF=6．
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF=
=3
，
设Q（-2，n），则在Rt△QGO中，由勾股定理得：OQ=
=
．
设⊙Q与直线BC相切于点E，则QE=OQ=
．
在Rt△BGF与Rt△QEF中，
∵∠BGF=∠QEF=90°，∠BFG=∠QFE，
∴Rt△BGF∽Rt△QEF．
∴
=
，即
=
．
化简得：n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1．
∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线BC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）．
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| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴x=-
| b |
| 2a |
| b | ||
2×
|
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵抛物线y=
| 1 |
| 2 |
∴3=
| 1 |
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| 3 |
| 2 |
∴抛物线的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）如图①，抛物线的解析式为：y=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2）．
令y=0，得x=-4或1，
勾股定理∴A（-4，0）、B（1，0）．
设点M坐标为（m，
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
则S四边形AMCO=S△AMO+S△CMO
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=-（m+2）2+8
∴当m=-2时，
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴当点M为（-2，-3）时四边形AMCO面积有最大值，最大值为8．
（3）如图②，假设存在这样的⊙Q．
设直线x=-2与x轴交于点G，与直线BC交于点F．设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B（1，0）、C（0，-2）代入得：
|
∴直线BC解析式为：y=2x-2，
令x=-2，得y=-6，
∴F（-2，-6），GF=6．
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF=
| BG2+GF2 |
| 5 |
设Q（-2，n），则在Rt△QGO中，由勾股定理得：OQ=
| OG2+QG2 |
| 4+n2 |
设⊙Q与直线BC相切于点E，则QE=OQ=
| 4+n2 |
在Rt△BGF与Rt△QEF中，
∵∠BGF=∠QEF=90°，∠BFG=∠QFE，
∴Rt△BGF∽Rt△QEF．
∴
| BF |
| QF |
| BG |
| QE |
3
| ||
| 6+n |
| 3 | ||
|
化简得：n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1．
∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线BC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）．
点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理的应用，四边形的面积的求法等知识点．试题有一定的难度，需要仔细分析，认真计算．
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