Question

如图，DEFG为正方形，A、H分别是FG、GD的中点，DA分别与GE、HE相交于B、C，则AB：BC：CD=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：根据正方形的性质可得GF=DG=DE，再求出AG=DH，然后利用“边角边”证明△AGD和△HDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=EH，全等三角形对应角相等可得∠ADG=∠HED，然后求出AD⊥EH，设正方形的边长为2a，由勾股定理列式求出EH，再利用三角形的面积列方程求出CD，利用△ABG和△DBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出

AB

BD

=

1

2

，再求出AB，然后表示出BC，再求出比值即可．

解答：解：∵DEFG为正方形，
∴GF=DG=DE，
∵A、H分别是FG、GD的中点，
∴AG=DH，
在△AGD和△HDE中，

AG=DH ∠DGF=∠GDE=90° DG=DE

，
∴△AGD≌△HDE（SAS），
∴AD=EH，∠ADG=∠HED，
∵∠HED+∠CDE=∠ADG+∠CDE=∠GDE=90°，
∴∠DCE=90°，
∴AD⊥EH，
设正方形的边长为2a，则AD=EH=

(2a)2+a2

=

5

a，
∵S_△DEH=

1

2

×

5

a•CD=

1

2

×2a•a，
解得CD=

2 5

5

a，
∵AG∥DE，
∴△ABG∽△DBE，
∴

AB

BD

=

AG

DE

=

1

2

，
∴

AB

AD

=

1

1+2

=

1

3

，
∴AB=

5

3

a，
∴BC=

5

a-

5

3

a-

2 5

5

a=

4 5

15

a，
∴AB：BC：CD=

5

3

a：

4 5

15

a：

2 5

5

a=5：4：6．
故答案为：5：4：6．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，设出正方形的边长，然后分别表示出AB、BC、CD更容易理解．