Question

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．
（1）当α=60°时，判断点B是否在直线O′B′上，并说明理由；
（2）连接OO′，设OO′与AB交于点D，当α为何值时，四边形ADO′B′是平行四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠BAO=30°，再求出直线O′B′的解析式即可解决问题．
（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．只要证明∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，即可解决问题．

解答 解；（1）如图1中，

∵一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），
∴tan∠BAO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30°，AB=2OB=2，
∵旋转角为60°，
∴B′（$\sqrt{3}$，2），O′（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设直线O′B′解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=2}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线O′B′的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
∵x=0时，y=1，
∴点B（0，1）在直线O′B′上．

（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．

理由：∵AO=AO′，∠OAO′=120°，∠BAO=30°，
∴∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，
∴AD∥O′B′，DO′∥AB′，
∴四边形ADO′B′是平行四边形．

点评 本题考查一次函数图象上的点的特征、平行四边形的性质和判定、旋转变换等知识，解题的关键是利用性质不变性解决问题，属于中考常考题型．