Question

3．如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）．

Answer 1

分析 过P作PC⊥AB于点C，根据题意得到∠PAC=30°，∠PBC=45°，根据正切的定义得到AC=$\sqrt{3}$PC，根据题意列方程，解方程即可．

解答 解：过P作PC⊥AB于点C，
∴∠ACP=90°．
由题意可知，∠PAC=30°，∠PBC=45°．
∴∠BPC=45°．
∴BC=PC．
在Rt△ACP中，$AC=\frac{PC}{tan∠PAC}=\sqrt{3}PC$． 
∵AB=20，
∴$20+PC=AC=\sqrt{3}PC$．
∴$PC=\frac{20}{{\sqrt{3}-1}}$≈27.3．
答：河流宽度约为27.3米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．