Question

13．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC=40cm，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∠ACD=75°．
（1）求点C到AB的距离；
（2）求线段AD的长度．

Answer 1

分析 （1）过C点作CE⊥AB于E，如图，在Rt△BCD中，利用含30°的直角三角形三边的关系易得CH=$\frac{1}{2}$BC=20；
（2）在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形三边的关系易得CH=20，BH=$\sqrt{3}$CH=20$\sqrt{3}$，再利用三角形外角性质计算出∠BAC=45°，则△ACH为等腰直角三角形，所以AH=CH=20，然后利用面积法求AD．

解答 解：（1）过C点作CE⊥AB于E，如图，
在Rt△BCD中，∵∠B=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×40=20，
即点C到AB的距离为20cm；
（2）在Rt△BCD中，∵∠B=30°，
∴CH=20，BH=$\sqrt{3}$CH=20$\sqrt{3}$，
∵∠ACD=∠B+∠BAC，
∴∠BAC=75°-30°=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH=20，
∴AB=20$\sqrt{3}$+20，
∵$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$CH•AB，
∴AD=$\frac{20×（20\sqrt{3}+20）}{40}$=10$\sqrt{3}$+10．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是利用面积法求AD．