Question

16．在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，推出AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=$\sqrt{3}$x，在Rt△AEB中，由∠E=30°，AB=5米，推出AE=2AB=10米，可得x+$\sqrt{3}$x=10，解方程即可．

解答 解：如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，
∴AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=$\sqrt{3}$x，
在Rt△AEB中，∵∠E=30°，AB=5米，
∴AE=2AB=10米，
∴x+$\sqrt{3}$x=10，
∴x=5$\sqrt{3}$-5，
∴EF=2x=10$\sqrt{3}$-10≈7.3米，
答：E与点F之间的距离为7.3米．

点评 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建方程解决问题．