Question

1．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=2，AD=3$\sqrt{2}$时，求线段DH的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD，证明结论；
（2）①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可；
②连接DF，延长AB交DF于M，根据题意和等腰直角三角形的性质求出DM、BM的长，根据勾股定理求出BD的长，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得到答案．

解答 解：（1）BD=CF．
理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=θ，
在△CAF和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=BA}\\{∠CAF=∠BAD}\\{FA=DA}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△BAD，
∴BD=CF；
（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，
∴∠CFA=∠BDA，
∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NDA=90°，
∴∠CFA+∠FNH=90°，
∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；
②连接DF，延长AB交DF于M，
∵四边形ADEF是正方形，AD=3$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AM=DM=3，BM=AM-AB=1，
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°，
∴∠BAD=45°，
∴AM⊥DF，
∴DB=$\sqrt{D{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠MAD=∠MDA=45°，
∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，
∴△DMB∽△DHF，
∴$\frac{DM}{DH}$=$\frac{DB}{DF}$，即$\frac{3}{DH}$=$\frac{\sqrt{10}}{6}$，
解得，DH=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握旋转角的定义和旋转变换的性质、正确作出辅助线是解题的关键．