Question

11．如图，二次函数y=x²+4x+c图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，M为不同于A，B，C的抛物线上的点．
（1）当M坐标为（-2，-1）时，求c的值；
（2）当M为顶点，且MA⊥MB时，求二次函数y=x²+4x+c的解析式；
（3）在（2）的条件下，E为线段AC上的点，过E作y的平行线交抛物线于F，△ACF面积是否存在最大值，若存在求出最大值，不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）把M点坐标代入抛物线解析式即可求得c；
（2）把抛物线解析式化为顶点式，则可用c表示出M点的坐标，由条件可用c表示出B点的坐标，代入抛物线解析式可求得c的值，则可求得抛物线解析式；
（3）可设出F点坐标，则可表示出E点坐标，从而可表示出EF的长，进一步表示出△ACF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵M为不同于A，B，C的抛物线上的点，
∴-1=4-8+c，解得c=3；
（2）∵y=x²+4x+c=（x+2）²+c-4，
∴M（-2，c-4），
如图1，设抛物线对称轴交x轴于点D，则D（-2，0），

∵MA⊥MB，且D为中点，
∴BD=MD=4-c，
∴OB=OD-BD=2-（4-c）=-2+c，
∴B（2-c，0），
∵B点在抛物线上，
∴（2-c）²+4（2-c）+c=0，解得c=3或c=4，
当c=4时，M点在x轴上，不符合题意，舍去，
∴c=3，
∴抛物线解析式为y=x²+4x+3；
（3）由（2）可知抛物线解析式为y=x²+4x+3，
令x=0可得y=3，令y=0可得x²+4x+3=0，解得x=-1或x=-3，
∴A（-3，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y=x+3，
设F（t，t²+4t+3），则E（t，t+3），如图2，

∵E为线段AC上的点，
∴EF=t+3-（t²+4t+3）=-t²-3t，
∴S_△AFC=$\frac{1}{2}$EF•OA=$\frac{1}{2}$×3（-t²-3t）=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当t=-$\frac{3}{2}$时，S_△AFC有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积及方程思想的应用等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用c表示出B点的坐标是解题的关键，在（3）中用F点的坐标表示出△AFC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．