Question

（本小题满分12分）如图，抛物线y=Ax2+C（A≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；

②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

 

Answer 1

（1）y=x2﹣1；（2）详见解析；（3）①；②详见解析

【解析】

试题分析：（1）【解析】
∵抛物线y=Ax2+C（A≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），

∴，

解得，

所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；

（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），

则AO==m2+1，

∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，

∴点M的纵坐标为﹣2，

∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，

∴AO=AM；

（3）【解析】
①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，

∴=+=1；

②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），

则===，

联立，

消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，

所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，

x12•x22=16，

∴===1，

∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1．

考点：二次函数综合题