Question

8．已知，△ABC中，D，E分别为AB、AC的中点，F为DE的中点，CF延长线交AD于G，则$\frac{DF}{BC}$=$\frac{1}{4}$；S_△GDF：S_四AGFE=1：5．

Answer 1

分析 直接利用三角形中位线定理结合相似三角形的性质分别表示出△GBC面积为：16x，则△AGC的面积为：8x，△GDF的面积为：x，四边形DBCF的面积为：15x，△ABC的面积为：24x，△ADE的面积=2△EFC的面积=6x，则四边形AGFE的面积为：5x，进而得出答案．

解答 解：如图所示：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，DE∥BC，
∵DF=FE，
∴DF=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{GD}{GB}$=$\frac{DF}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{GD}{DB}$=$\frac{1}{3}$，
∵AD=BD，
∴GD：AD=1：3，
∴AG：GD=2：1，
∴$\frac{AG}{BG}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
设△GBC面积为：16x，
则△AGC的面积为：8x，△GDF的面积为：x，
四边形DBCF的面积为：15x，△ABC的面积为：24x，
∵DF=EF，DE是△ABC的中位线，
∴△ADE的面积=2△EFC的面积=6x，
则四边形AGFE的面积为：5x，
故S_△GDF：S_四AGFE=1：5．
故答案为：$\frac{1}{4}$，1：5．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的性质以及三角形面积求法等知识，正确用未知数表示出各图形面积是解题关键．