Question

如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．
（1）求证：△EBF∽△FCD；
（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG，然后求出∠EFB=∠FDC，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）先求出CF，再利用勾股定理列式求出DF，然后根据相似三角形对应边成比例求出BE，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，
∴BC=CD，GH=EF=FG．
又∵点F在BC上，点G在FD上，
∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EFB=∠FDC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△EBF∽△FCD；

（2）解：∵BF=3，BC=CD=12，
∴CF=9，DF=

CF2+CD2

=

92+122

=15，
∵△EBF∽△FCD，
∴

BE

BF

=

CF

CD

，
∴BE=

BF•CF

CD

=

3×9

12

=

9

4

，
∴GH=FG=EF=

BE2+BF2

=

15

4

，
∴DG=DF-FG=15-

15

4

=

45

4

，
∴tan∠HDG=

GH

DG

=

15 4

45 4

=

1

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质以及相似三角形的判定方法是解题的关键．