Question

7．已知△ABC是锐角三角形，BA=BC，点E为AC边的中点，点D为AB边上一点，且∠ABC=∠AED=α．
（1）如图1，当α=40°时，∠ADE=70°；
（2）如图2，取BC边的中点F，联结FD，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度β（β＜α），得到∠MEN，EM与BA的延长线交于点M，EN与FD的延长线交于点N．
①依题意补全图形；
②猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求；
（2）①根据题意画图即可；
②首先证明EA=ED=EC，得到∠ADC=90°，然后求出∠EAM=∠EDN，易证△EAM≌△EDN，所以EM=EN．

解答 解：（1）70；
∵AB=BC，∠ABC=α=40°，
∴∠A=70°，
∵∠AED=α=40°
∴∠ADE=70°；
（2）①见右图；
②EM=EN．
证明：∵∠ABC=∠AED=α．BA=BC，
∴∠A=∠EDA=∠ACB=90°-$\frac{α}{2}$，
∴EA=ED，
∵E是AC中点，
∴EA=EC，
∴EA=EC=ED，
∴∠ADC=90°，
∵∠EAM=180°-∠EAD=180°-（90°-$\frac{α}{2}$）=90°+$\frac{α}{2}$，
∵点F是BC中点，
∴FB=FD，
∴∠FDB=∠ABC=α，
∴∠EDN=∠EDA+∠ADN=∠EDA+∠FDB=90°-$\frac{α}{2}$+α=90°+$\frac{α}{2}$，
∴∠EAM=∠EDN，
∵∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AED=∠MEN，
∴∠AED-∠AEN=∠MEN-∠AEN，
即∠MEA=∠NED，
在△EAM和△EPN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAM=∠EDN}\\{EA=ED}\\{∠MEA=∠NED}\end{array}\right.$，
∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，如果三角形一边中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，三角形内角和定理以及三角形全等的性质与判定，挖掘三角形全等的条件是解决问题的关键．