Question

17．如图所示，在△ABC中，AB=AC，CD垂直于BA的延长线于点D，试探究∠BAC与∠BCD之间的关系．

Answer 1

分析 首先根据CD⊥AD，可得∠CDA=90°，所以∠DAC+∠DCA=180°-90°=90°；然后根据AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，分别用∠BAC、∠BCD表示出∠DAC、∠DCA，判断出∠BAC与∠BCD之间的关系即可．

解答 解：∵CD⊥AD，
∴∠CDA=90°，
∴∠DAC+∠DCA=180°-90°=90°；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴$∠ACB=\frac{180°-∠BAC}{2}=90°-\frac{1}{2}∠BAC$；
又∵∠DAC=180°-∠BAC，
∴（180°-∠BAC）+[∠BCD-（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）]=90°，
∴90°-$\frac{1}{2}$∠BAC+∠BCD=90°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC=∠BCD，
∴∠BAC=2∠BCD．

点评 （1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，以及三角形的内角和定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．