Question

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若AE=2$\sqrt{5}$，CE=2．求⊙O的半径和AB的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OA，要证明切线，只需证明OA⊥AD，根据AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根据圆周角定理即可证明；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2$\sqrt{5}$，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出OH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，然后根据勾股定理计算出AH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，再利用垂径定理得出AB=2AH═$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

解答 （1）证明：连接OA；
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA⊥OC；
又∵AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△OAE中，∵AO²+OE²=AE²，
∴R²+（R-2）²=（2$\sqrt{5}$）²，解得R=4，
作OH⊥AB于H，如图，OE=OC-CE=4-2=2，
则AH=BH，
∵$\frac{1}{2}$OH•AE=$\frac{1}{2}$•OE•OA，
∴OH=$\frac{OE•OA}{AE}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AOH中，AH=$\sqrt{O{A}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵OH⊥AB，
∴AB=2AH=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

点评 掌握切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系，熟练运用平行线分线段成比例定理进行求解．