Question

1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，在四边形OABC中，点A在y轴上，AB∥OC，点B的坐标为（6，6），点C的坐标为（9，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）现有一动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动（点P不与点B重合），过P作PH⊥x轴，垂足为H，直线HP交直线BC于点Q，设PQ的长度为d，点P的运动时间为t秒，求d与t之间的函数关系式，并直接写出相应的自变量t的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，在y轴和直线BC上分别找一点M和N，当四边形PQMN为菱形时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出直线解析式；
（2）先根据点P的坐标表示出点Q坐标，由平行于y轴的直线上两点间的距离公式求解，分两种情况求解即可；
（3）先判断出点N是直线BC和y轴交点，即N（0，18），得出PQ=NP=MN，从而先确定出t的值，求出PQ，即得出MN的长，即可得出M坐标．

解答 解：（1）设直线BC解析式为y=kx+b，
∵点B的坐标为（6，6），点C的坐标为（9，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=6}\\{9k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=18}\end{array}\right.$
∴直线BC解析式为y=-2x+18，
（2）∵AB∥OC，点B的坐标为（6，6），
∴A（0，6），AB=6，
设点P坐标为（t，6），
∴Q（t，-2t+18），
①当0≤t＜6时，
d=PQ=y_Q-y_P=-2t+18-6=-2t+12；
②当t＞6时，
d=PQ=y_P-y_Q=6-（-2t+18）=2t-12；
∴d=$\left\{\begin{array}{l}{-2t+12（0≤t＜6）}\\{2t-12（t＞6）}\end{array}\right.$，
（3）∵PQ∥y轴，四边形PQMN为菱形，
∴MN∥y轴，
∵点M在y轴上，
∴点N也在y轴上，
∵N在直线BC上，
∴N（0，18），
由（2）知，P（t，6），
∴NP=$\sqrt{{t}^{2}+144}$，
∵四边形PQMN为菱形，
∴PQ=NP=MN，
①当0≤t＜6时，
∴-2t+12=$\sqrt{{t}^{2}+144}$，
∴t=0（舍）或t=16（舍）
②当t＞6时，
∴2t-12=$\sqrt{{t}^{2}+144}$，
∴t=0（舍）或t=16，
∴MN=PQ=20，
∵N（0，18）
∴M（0，-2）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面坐标系中两点间的距离公式，菱形的性质，解本题的关键是在平面坐标系中两点间的距离公式．