Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交BC于E，交CD于F，EG⊥AB于G．
（1）如图1，求证：CF=EG；
（2）如图2，当tan∠EAB=$\frac{1}{2}$，EF=$\sqrt{5}$时，求四边形CFGE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质，可得EC=EG，易证△CEF是等腰三角形，即可得CF=CE=EG，由此即可解决问题．
（2）首先证明四边形CFGE是菱形，再证明∠1=∠4=∠3，推出tan∠1=$\frac{EO}{CO}$=$\frac{1}{2}$，由OE=OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，推出OC=OG=$\sqrt{5}$，根据菱形的面积公式计算即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC⊥CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，
∴∠3=∠4，EC=EG，
∵CD⊥AB，
∴CD∥EG，∠CFE=∠AFD=90°-∠3，
∵∠AEC=90°-∠3，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∴CF=EG，

（2）解：如图2中，连接CG交AE于O．

由（1）可知，CF=EG，CF∥EG，
∴四边形CFGE是平行四边形，
∵CF=CE，
∴四边形CFGE是菱形，
∴CG⊥AE，
∵∠1+∠CEO=90°，∠4+∠CEO=90°，
∴∠1=∠4=∠3，
∵tan∠3=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠1=$\frac{EO}{CO}$=$\frac{1}{2}$，∵OE=OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴OC=OG=$\sqrt{5}$，
∴四边形CFGE的面积=$\frac{1}{2}$•CG•EF=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{5}$•$\sqrt{5}$=5．

点评 此题考查了菱形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定、锐角三角函数、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．