Question

12．在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC，交AC边的延长线于点D，点E在AB边上，EF⊥BD于点F，且EF=BD，若AC=$\frac{13}{4}$，DF=1（BF＞CD），则线段BE的长为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 如图，设BF=x，CD=y，由BC²=CD²+BD²，得y²+（x+1）²=（$\frac{13}{4}$）²    ①，由EF∥AD，得$\frac{EF}{AD}$=$\frac{BF}{BD}$，得$\frac{x+1}{\frac{13}{4}+y}$=$\frac{x}{x+1}$    ②，解方程组即可解决问题．

解答 解：如图，设BF=x，CD=y，
在Rt△BCD中，∵BC²=CD²+BD²，
∴y²+（x+1）²=（$\frac{13}{4}$）²    ①，
∵EF⊥DE，AD⊥BD，
∴EF∥AD，
∴$\frac{EF}{AD}$=$\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{x+1}{\frac{13}{4}+y}$=$\frac{x}{x+1}$    ②，
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴EF=3，BF=2，
在Rt△BEF中，BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会构建方程组解决问题，属于中考常考题型．