Question

7．已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，直接写出线段DG与PC的数量关系DG=2PC；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）结论：DG=2PC，如图1中，作PM⊥AD于M．只要证明四边形PMDC是矩形，推出PC=DM，再证明MG=MD即可解决问题．
（2）结论：如图2中，作PM⊥AD于M．则四边形CDMP是矩形，CD=PM，由△ADF≌△MPG，推出DP=PG=PE=PD，再证明DF∥PE，推出四边形PEFD是平行四边形，由PD=PE，即可证明四边形PEFD是菱形．

解答 解：（1）结论：DG=2PC．
理由：如图1中，作PM⊥AD于M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠CDM=∠DMP=90°，
∴四边形DCPM是矩形，
∴PC=DM，
∵PD=PG，PM⊥DG，
∴MG=MD，
∴DG=2PC．
故答案为DG=2PC．

（2）结论：四边形PEFD是菱形．
理由：如图2中，作PM⊥AD于M．则四边形CDMP是矩形，CD=PM，

∵∠DAF=∠PMG=∠DGH=90°，
∴∠ADF+∠AFD=90°，∠G+∠GDH=90°，
∵∠ADF=∠GDH，
∴∠AFD=∠G，
∵AD=CD，CD=PM，
∴AD=PM，
在△ADF和△MPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠G}\\{∠FAD=∠PMG}\\{AD=PM}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MPG，
∴DP=PG=PE=PD，
∵∠FHG=∠EPG=90°，
∴DF∥PE，
∴四边形PEFD是平行四边形，
∵PD=PE，
∴四边形PEFD是菱形．

点评 本题考查旋转变换、等腰三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．