Question

若关于x的二次函数y=x²-2mx+1的图象与端点在（-1，1）和（3，4）的线段只有一个交点，则m的值可能是（　　）

• A、

  5

  2

• B、-

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：探究型

分析：由于二次函数y=x²-2mx+1的图象开口向上且过（0，1），与端点在（-1，1）和（3，4）的线段只有一个交点，则与过（-1，1）和（3，4）直线有两个交点，求出直线解析式，进而得出x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

=0在[-1，3]上有且仅有一个解，则f（x）=x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

，可以得出：f（-1）×f（3）≤0，然后解关于m的不等式．

解答：解：∵设直线AB过点（-1，1）和（3，4），
∴设直线AB的解析式为：y=kx+b，将两点代入解析式得：

-k+b=1 3k+b=4

，
解得：

k= 3 4 b= 7 4

故AB直线方程为：y=

3

4

x+

7

4

，
根据y=

3

4

x+

7

4

与y=x²-2mx+1在x=[-1，3]上有且仅有一个交点，
即

3

4

x+

7

4

=x²-2mx+1，
故x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

=0在[-1，3]上有且仅有一个解，
f（x）=x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

，可以得出：f（-1）×f（3）≤0
则[1+2m]×[9-3（2m+

3

4

）-

3

4

]≤0
（1+2m）（-6m+6）≤0
即（1+2m）（6m-6）≥0，
即

1+2m≥0 6m-6≥0

或

1+2m≤0 6m-6≤0

，
解得：m≥1或m≤-

1

2

．
只有

5

2

在这个范围内，
故选：A．

点评：本题考查了二次函数的性质，利用函数的单调性求函数f（x）=x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

在区间[-1，3]上的值域是解决此题的关键．