Question

7．已知：一次函数y=$\frac{1}{2}$x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求D、E的坐标．

Answer 1

分析 先根据坐标轴上点的坐标特征得到B（0，4），A（8，0），再证明Rt△OCD∽Rt△OBA，利用相似比可计算出OD=8，则D（0，8），接着利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=-2x+8，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$即可得到E点坐标．

解答 解：当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x-4=-4，则B（0，4）；
当y=0时，$\frac{1}{2}$x-4=0，解得x=8，则A（8，0），
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
而∠DBE=∠ABO，
∴∠BDE=∠BAO，
∴Rt△OCD∽Rt△OBA，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{OD}{8}$=$\frac{4}{4}$，解得OD=8，
∴D（0，8），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（4，0），D（0，8）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b+8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-2x+8，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=\frac{1}{2}x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{5}}\\{y=-\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴E点坐标为（$\frac{24}{5}$，-$\frac{8}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-$\frac{b}{k}$，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．