Question

17．如图，在?ABCD中，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE=DF，对角线AC⊥AB．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）①当E为BC的中点时，求证：四边形AECF是菱形；
②若AB=6，BC=10，当BE长为3.6时，四边形AECF是矩形．
③四边形AECF有可能成为正方形吗？答：没有．（填“有”或“没有”）

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，等量代换得到AF=EC，于是得到结论；
（2）①根据垂直的定义得到∠BAC=90°，根据菱形的判定定理即可得到结论；②由四边形AECF是矩形，得到∠AEC=90°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）根据（2）的结论即可得到结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：①∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵E为BC的中点，
∴AE=CE，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF为菱形；

②∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{AB}$，
∴BE=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=$\frac{{6}^{2}}{10}$=3.6，
故答案为：3.6；

（3）没有．

点评 本题考查了特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质定理是解题的关键．